1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，其右焦点到直线的距离为1，离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，直线与交于点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）若，，三点不共线，直线的斜率存在，求证：.

2 . 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于两点，求证：为定值.

3 . 已知点是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆于、两点，点在椭圆上，且；
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求证：．

4 . 已知曲线C上任意一点P到直线的距离等于它到定点的距离的2倍，过点F的直线与曲线C交于A、B两点，直线BH与直线l垂直，垂足为H．
（1）求曲线C的方程；
（2）若，求直线的斜率；
（3）证明：直线AH经过x轴上的定点．

5 . 已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；
（1）当时，求的面积；
（2）当时，求证：.

6 . 已知动点到定点的距离之和为4.
（1）求动点的轨迹方程
（2）若轨迹与直线交于两点，且求的值.
（3）若点与点在轨迹上，且点在第一象限，点在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形的面积为定值.

7 . 已知点，，椭圆C：（）的离心率为，过点且斜率为1的直线被椭圆C截得的线段长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线不经过点，且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.

8 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的短轴长为2，倾斜角为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且点M与坐标原点O连线的斜率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：.

9 . 已知椭圆的左、右焦点为，过右焦点的直线交椭圆于两点.
（1）设点P到直线的距离为d，证明：为定值；
（2）若弦，求直线的斜率的值.

10 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，B₁，B₂是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B₁，B₂的一动点．当直线PB₁的方程为时，线段PB₁的长为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点Q满足：QB₁⊥PB₁，QB₂⊥PB₂，求证：△PB₁B₂与△QB₁B₂的面积之比为定值．