1 . 某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．
(1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．
(2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值．

2 . 如图，直线与相交于点P．直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点．点的横坐标构成数列．

(1)证明：；
(2)求数列的通项公式；
(3)比较与的大小．

3 . 已知函数的定义域为．
(1)若，试比较与的大小；
(2)证明函数为奇函数，并求函数在上的最大值．

4 . 设函数．
（1）求的单调区间与极值；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）证明当时，．