1 . 设数列，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”．
（1）写出数列：3，6，12，24的一个“等比分割数列”；
（2）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比q的取值范围；
（3）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求m的最大值．

2 . 已知为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设
(1)判断数列，是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合；
(2)若具有性质，证明：

3 . 设正整数集合，且 ．若对于任意的 ，当 时，都有 ，则称集合 A 为“子列封闭集合”．
(1)若 ，判断集合 A 是否为“子列封闭集合”，说明理由；
(2)若数列的最大项为，且，证明：集合 A 不是“子列封闭集合”；
(3)设为数列，若 ，且集合 A 为“子列封闭集合”，求数列 的通项公式．

4 . 对于项数为m的数列{a_n}，若满足：1≤a₁＜a₂＜⋯＜a_m，且对任意1≤i≤j≤m，a_ia_j与中至少有一个是{a_n}中的项，则称{a_n}具有性质P．
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a₁，a₂，a₃，a₄具有性质P，求证：a₁＝1，a₄＝a₂a₃；
(3)如果数列{a_n}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{a_n}是否为等比数列？并说明理由．

5 . 已知项数为的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.
（I）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（II）若为的“伴随数列”，证明：；
（III）已知数列存在“伴随数列”且求的最大值.

6 . 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
(1)分别判断数列，与数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由.

7 . 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
(1)分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；
(3)已知数列为等差数列，且，求证为“数列”．

8 . 对于给定的区间和非负数列，若存在，使成立，其中，，则称数列可“嵌入”区间.
（1）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间；
①；
②.
（2）已知数列满足，若数列可“嵌入”区间，求数列的项数的最大值；
（3）求证：任取数列满足，均可以“嵌入”区间.

9 . 给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值.
（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；
（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.

10 . 若对于正整数k，表示k的最大奇数因数，例如，
设.
(1)求的值；
(2)求，，的值；
(3)求数列{}的通项公式.