1 . 已知数列的通项公式为（n，a均为正整数）.
(1)若、、成等差数列，求a的值；
(2)是否存在k（且）与a，使得、、成等比数列？若存在，求出k的取值集合，若不存在，请说明理由；
(3)求证：数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积.

2 . 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令．
(1)①求，，的值；
②求数列的通项公式；
(2)求证：．

3 . 已知无穷数列满足，其中，对于数列中的一项，若包含的连续项满足或者，则称为包含的长度为的“单调片段”.
(1)若，写出所有包含的长度为3的“单调片段”；
(2)若对任意正整数，包含的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且，求的通项公式；
(3)若对任意大于1的正整数，都存在包含的长度为的“单调片段”，求证：存在正整数，使得时，都有.

5 . 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{a_n}满足：，求证：数列{a_n}为“M-数列”；
(2)已知数列{b_n}满足：，其中S_n为数列{b_n}的前n项和.
①求数列{b_n}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M-数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值.

6 . 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
(1)分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；
(3)已知数列为等差数列，且，求证为“数列”．

8 . 对于数列，若存在正整数M，同时满足如下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得．则称数列为数列．
(1)若，判断数列和是否为数列，并说明理由；
(2)对于数列，存在正整数T，对一切，都有成立，求证：数列为常数列；
(3)若数列满足，求实数p的取值集合．

9 . 若无穷数列满足是公差为k的等差数列，则称为数列.
(1)若为数列，，，求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，，，为数列，求证：.

10 . 对于项数为的有穷正整数数列，记，即为，，……中的最大值，称数列{}为数列{}的“创新数列”.比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5.
(1)若数列的“创新数列”{}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列；
(2)设数列{}为数列的“创新数列”，满足，求证：
(3)设数列{}为数列的“创新数列”，数列{b_n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.