1 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
(1)若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；
(2)设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
(3)设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为、，求是数列时所满足的条件，并证明命题“若是数列，则总有”.

2 . 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质，且，求的值；
(2)若，判断数列是否具有性质并证明；
(3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.

3 . 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足不同时为0，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和；
(2)设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

5 . 对于给定数列，如果存在实常数、使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”．
(1)若，，，数列、是否为“类数列”？
(2)若数列是“类数列”，求证：数列也是“类数列”；
(3)若数列满足，，为常数．求数列前2022项的和．

8 . 已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，．
(1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；
(2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，，求的值；
(3)若数列与成“k级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．

9 . 已知数列的通项公式为（n，a均为正整数）.
(1)若、、成等差数列，求a的值；
(2)是否存在k（且）与a，使得、、成等比数列？若存在，求出k的取值集合，若不存在，请说明理由；
(3)求证：数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积.

10 . 已知无穷数列满足，其中，对于数列中的一项，若包含的连续项满足或者，则称为包含的长度为的“单调片段”.
(1)若，写出所有包含的长度为3的“单调片段”；
(2)若对任意正整数，包含的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且，求的通项公式；
(3)若对任意大于1的正整数，都存在包含的长度为的“单调片段”，求证：存在正整数，使得时，都有.