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解题方法
1 . 数列有项,,对任意,存在,若与前项中某一项相等,则称具有性质.
(1)若,求可能的值;
(2)若不为等差数列,求证:中存在满足性质;
(3)若中恰有三项具有性质,这三项和为,使用表示.
(1)若,求可能的值;
(2)若不为等差数列,求证:中存在满足性质;
(3)若中恰有三项具有性质,这三项和为,使用表示.
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2 . 定义:若对任意,数列的第项都等于数列的第项,则称数列为数列的“分段反序数列”.如:令,当时,,则,所以.已知数列的“分段反序数列”为,数列的前项和为.
(1)若,直接写出的值;
(2)若,求;
(3)若,证明:数列为常数列.
(1)若,直接写出的值;
(2)若,求;
(3)若,证明:数列为常数列.
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3 . 设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.
(1)若,判断数列是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差,且是“数列”,
①求的值;
②设为数列的前项和,证明:
(1)若,判断数列是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差,且是“数列”,
①求的值;
②设为数列的前项和,证明:
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4 . 若数列满足,其中,则称数列为数列.已知数列为数列,当时.
(1)求证:数列是等差数列,并写出数列的通项公式;
(2),求.
(1)求证:数列是等差数列,并写出数列的通项公式;
(2),求.
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5 . 将平面直角坐标系中的一列点记为.设,其中为与轴方向相同的单位向量,若对任意的正整数,都有,则称为点列.
(1)判断是否为点列,并说明理由;
(2)若为点列,且.任取其中连续三点,证明为钝角三角形;
(3)若为点列,对于正整数,比较与的大小,并说明理由.
(1)判断是否为点列,并说明理由;
(2)若为点列,且.任取其中连续三点,证明为钝角三角形;
(3)若为点列,对于正整数,比较与的大小,并说明理由.
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6 . 若数列在某项之后的所有项均为一常数,则称是“最终常数列”.已知对任意,函数和数列满足.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
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7 . 已知数列:,,…,(,)具有性质:对任意,(),与两数中至少有一个是该数列中的一项,为数列的前项和.
(1)分别判断数列0,1,3与数列0,1,3,4是否具有性质;
(2)证明:,且;
(3)证明:当时,,,,,成等差数列.
(1)分别判断数列0,1,3与数列0,1,3,4是否具有性质;
(2)证明:,且;
(3)证明:当时,,,,,成等差数列.
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8 . 对于无穷数列,若对任意,且,存在,使得成立,则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为,试判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)已知数列为等差数列,
①若是“数列”,,且,求所有可能的取值;
②若对任意,存在,使得成立,求证:数列为“数列”.
(1)若数列的通项公式为,试判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)已知数列为等差数列,
①若是“数列”,,且,求所有可能的取值;
②若对任意,存在,使得成立,求证:数列为“数列”.
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2024-04-12更新
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1079次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期月考(七)数学试题
9 . 约数,又称因数.定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.设正整数共有个正约数,记作,,,,.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若,,,构成等比数列,求与满足的关系式(用和表示);
(3)记,求证:.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若,,,构成等比数列,求与满足的关系式(用和表示);
(3)记,求证:.
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10 . 设自然数,由个不同正整数构成集合,若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合,记为集合元素的个数
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
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