1 . 某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取平方米牧草，在第一次喷药前测得其中平方米为正常牧草，平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的受害牧草有的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第次喷药前正常牧草的面积为平方米．
(1)求使得成立的的最大整数值；
(2)证明：在取（1）中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米．

2 . 对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列.
(1)已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(2)若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.

3 . 对于数列，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则叫做类等差数列，叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差.
(1)若类等差数列满足，请类比等差数列的通项公式，写出数列的通项不等式（不必证明）；
(2)若数列中，，.
①判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；
②记数列的前n项和为，证明：.

4 . 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：

	1	2	3	4	5
	232	98	60	40	20

求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．

5 . 我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．

（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
（2）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．

6 . 已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：
①；
②若对恒成立，则；
③设，，则的最小值为；
④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．
其中所有正确的命题的序号为________．