1 . 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

   

(1)若直线与轴的交点为，求证：；
(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．

2 . 已知抛物线.
(1)当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于两点，在上取不同于的点，使得，求点的轨迹方程；
(2)已知是抛物线上的三个点，且直线、分别与抛物线相切，证明：直线与抛物线相切.

3 . 过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32
   
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.

4 . 已知点为抛物线的焦点，如图，过点的直线交抛物线于两点（点在轴右侧），点在抛物线上，直线交轴的正半轴于点且，设直线与抛物线相切于点，直线与轴相交于点．

(1)设点，；
①求证：；
②求证：直线与平行；
(2)求使面积取最小值时点的坐标．