1 . 近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁．多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示：

   

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于A型手机，小于或等于的产品应用于型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)求型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；
(2)当临界值时，求型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率；
(3)已知，现有足够多的型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型于机、型手机各1万部的生产：
方案一：直接将型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将型芯片Ⅱ级品应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元；
方案二：重新检测型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；
请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．

2 . 观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情境
企业的生产经营活动，最终以利润论成败，利润的本质是企业盈利的表现形式，是全体职工的劳动成绩，企业为市场生产优质商品而得到利润，注意利润是对全部成本而言的.一个企业有利润，意味着该企业有一定的盈利能力，意味着企业具有较强的获取现金的能力，影响利润的因素较复杂，如果排除一些较为复杂的因素，我们是否可以预测利润，为企业的发展献计献策？
（2）提出问题
为长期获得可观的利润，应该如何制定企业的发展策略？
（3）分析问题
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，企业的发展必然受到利润率的制约，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，我们可以根据企业成本与利润的数据，通过数学模型达到转型预测的目的.
2. 收集数据
下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
投资成本	3	5	9	17	33		…
年利润	1	2	3	4.1	5.2		…

①选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
②试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
3.分析数据
先根据表中数据，刻画出散点图，根据散点图的特征选择合适的函数.利用几何画板等工具，得到的散点图如下图：

根据散点图的形式，结合我们所学的函数图像，发现模型的不确定.
4．建立模型
（1）幂函数型
根据散点图的形式，可假设（，且），
则，化简得到，
设，利用几何画板、图形计算器等可求得此方程的解为，不合题意舍.

（2）对数函数模型
设（，且），
则，解得，∴.
（3）指数函数模型
设，
则，故，，，
故，
但当时，，故指数函数模型不合适.
结合以上分析，我们发现对数函数函数模型较为合适.
5．检验模型
我们用余下的数据进行检验，
当时，；当，，这两组数据与实际的数据比较接近，故选择对数函数模型.
6．问题解决
由题知，解得.，
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
7．问题拓展
在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了不同的函数模型，然后利用前3个点求出对应的函数形式，否定了其中两个不合的函数模型，那么请同学思考一下是否有更合适的模型？

3 . 随着生活水平的提高，人们对生活质量的要求也逐步提高，尤其是在饮食方面，虾因营养又美味而受到不少人的青睐.罗氏沼虾食性杂，生长快，易养殖，市场前景好，现已成为我国重点发展的特优水产品之一，不仅池塘养殖有了较大发展，而且稻田养殖也获得了成功.某养殖户有多个养虾池，每个虾池投放40000尾虾苗，成活率均为75%，到售卖时会存在一定的个体差异.为了解某虾池虾的具体生长情况，从该虾池中随机捕捉200尾测量其长度（单位：），得到频率分布直方图，如图所示：

(1)试利用样本估计总体的思想估计该虾池虾的平均长度.
(2)已知该虾池虾的长度均在之间，根据虾的长度将虾分为四个等级，长度､等级与售价（单位：元/尾）之间的关系如下表（）：

长度/
等级	三级	二级	一级	特级
/（元/尾）

①从该虾池中随机捕捉4尾虾，试求至少有2尾为特级虾的概率；
②若该虾池的前期修建成本为40000元，购买相关设备的成本为7150元，虾苗0.65元/尾，每茬虾的养殖成本为6500元.假设每茬虾的利润相同，在不考虑维修成本的前提下，试问该虾池至少需养几茬虾才能盈利？

4 . 在新农村建设中，某村准备将如图所示的内区域规划为村民休闲中心，其中区域设计为人工湖（点D在的内部），区域则设计为公园，种植各类花草.现打算在，上分别选一处E，F，修建一条贯穿两区域的直路，供汽车通过，设与直路的交点为P，现已知米，，，米，，段的修路成本分别为100万元/百米，50万元/百米，设，修路总费用为关于的函数，（单位万元），则下列说法正确的是（       ）

   

A．米	B．
C．修路总费用最少要400万元	D．当修路总费用最少时，长为400米

5 . 五常市是黑龙江省典型农业大县（市）、国家重要的商品粮食基地，全国粮食生产十大先进县之一，也是全国水稻五强县之一，被誉为张广才岭下的“水稻王国”．五常大米受产区独特的地理、气候等因素影响，干物质积累多，直链淀粉含量适中，支链淀粉含量较高．由于水稻成熟期产区昼夜温差大，大米中可速溶的双链糖积累较多，对人体健康非常有益．五常大米根据颗粒、质地、色泽、香味等评分指标打分，得分在区间，，，内分别评定为四级大米、三级大米、二级大米、一级大米．某经销商从五常市农民手中收购一批大米，共400袋（每袋25kg），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：

(1)求的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能否达到采购总量一半以上；
(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：
方案1：将采购的400袋大米不经检测，统一按每袋300元直接售出；
方案2：将采购的400袋大米逐袋检测分级，并将每袋大米重新包装成5包（每包5kg），检测分级所需费用和人工费共8000元，各等级大米每包的售价和包装材料成本如下表所示：

大米等级	四级	三级	二级	一级
售价（元/包）	55	68	85	98
包装材料成本（元/包）	2	2	4	5

该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．

6 . 某小区物业每天从供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本15元，售价20元．如果下午6点之前没有售完，物业将剩下的果蔬打五折于当天处理完毕．物业对20天本小区这种小包装果蔬下午6点之前的日需求量（单位：份）进行统计，得到如下条形图：

(1)假设物业某天购进20份果蔬，当天下午6点之前的需求量为n（单位：份，）．
（i）求日利润y（单位：元）关于n的函数解析式；
（ii）以20天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润不少于100元的概率．
(2)依据统计学知识，请设计一个方案，帮助物业决策每天购进的果蔬份数．只需说明原因，不需计算．

7 . 已知某养猪场的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量为600头，且每养1头猪，成本增加100元，养x头猪的收益函数为，记，分别为养x头猪的成本函数和利润函数．
(1)分别求，的表达式；
(2)当x取何值时，最大？

8 . 某公司生产某种产品的总利润（单位：万元）与总产量（单位：件）的函数解析式为，若公司想不亏损，则总产量至少为____________.

9 . 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

10 . 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到下图的频率分布直方图.并依据质量指标值划分等级如表所示：

质量指标值		或
等级	级	级

（1）根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数；
（2）以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决下列问题：
（i）从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中级零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有零件按400个一箱包装，已知一个级零件的利润是12元，一个级零件的利润是4元，试估计每箱零件的利润.