1 . 如图，椭圆的离心率为 ， 轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长．

（1）求， 的方程；
（2）设与 轴的交点为 M，过坐标原点O的直线与 相交于点 A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
①证明：；
②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线 ,使得= ?请说明理由．

2 . 对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则
（1）_______．（2）_______．

3 . 已知函数.
(I)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.

4 . 数列满足，，
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）设，，，
求使的所有的值，并说明理由．

5 . 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为．
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围．

6 . 已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．