1 . 在一张无限大的方格表上的每个方格中填有一个实数．已知任意一个由格线构成的正方形中的数之和的绝对值不超过1．证明：任意一个由格线构成的矩形中的数之和的绝对值不超过4．
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2 . 设
、
是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程
的两个复根恰为
、
（当两根相等时
）．若数列
恒为常数，证明：
（1）
；
（2）数列恒为常数．
、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：（1）
；（2）数列
恒为常数．
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3 . 已知
是两个整数集合，且对于任意整数
，存在唯一的
使得
.记
.证明：对任意的
，存在
，使得
.
是两个整数集合，且对于任意整数，存在唯一的使得.记.证明：对任意的，存在，使得.
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4 . 设
为一个质数，且
也是一个质数，证明：
的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
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5 . 设
，
，…，
为曲线
上
个点，其横坐标为
，
，…，
，若正常数
使得存在
，
，
，则常数的最小值为______ .
，，…，为曲线上个点，其横坐标为，，…，，若正常数使得存在，，，则常数的最小值为
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6 . 给定素数
.称1，2，…，
的排列
为“好排列”，如果对
，2，…，均有
，并且
是的倍数.求“好排列”的个数除以
的余数.
.称1，2，…，的排列为“好排列”，如果对，2，…，均有，并且是的倍数.求“好排列”的个数除以的余数.
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7 . 给定正整数
.记
，
，2，3，….证明：对任意素数
，存在无穷多个非负整数对
，满足
，
，…，
这100个数都能被
整除，并且都不能被
整除.
.记，，2，3，….证明：对任意素数，存在无穷多个非负整数对，满足，，…，这100个数都能被整除，并且都不能被整除.
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8 . 求最大的实数
，使得不等式
对任意正整数以及任意实数
均成立.
，使得不等式对任意正整数以及任意实数均成立.
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9 . 设为给定的正整数，
，
，…，
为满足对每个
都有
的一列实数，求
的最大值.
为给定的正整数，，，…，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值.
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解题方法
10 . 设为椭圆
的左焦点，直线
与椭圆交于
，
两点.
（1）求
的最大值；
（2）若直线与
轴、
轴分别交于
，
，且以
为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数
的取值范围.
为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，两点.（1）求
的最大值；（2）若直线
与轴、轴分别交于，，且以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数的取值范围.
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