1 . 设是正实数数列．
(1)若收敛，求证：存在严格递增的无界正实数数列满足收敛．
(2)若收敛，是否一定存在严格递增的正整数数列，满足收敛，且？

2 . 设，满足．
(1)证明：若，则当时，．
(2)若存在满足，证明．

3 . 设为全体由和1构成的元数组的集合，其中为偶数．称与正交，若．记为可以从中选出元数组个数的最大值，满足选出的数组两两正交．求和的值．

4 . 求最小的实数，使得对任意的正整数，可以将其表示成2023个正整数之积，即，且满足对任意的，均有是素数或者．

5 . 给定一个正99边形，将1，2，，99放入99边形的99个顶点处，若两种放置方法在旋转之后可以重合，则称这两种方法是同一个.称交换某两个相邻顶点上的数为一次操作，求最小的使得至多次操作可以将一种放置方法变为任意另外一种放置方法.

6 . 在锐角中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明：
(1)；
(2)．

7 . 给定素数，定义集合．对于，，定义如下：当时；当时．对于的一个子集，定义．若集合满足且对任意有则称集合为好集合．求最大正整数，使得可以找到个互不相同的好集合，，，，满足．

8 . 设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）.

9 . 求具有下述性质的最小正整数：若将中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数满足，或者存在10个互不相同的蓝色的数满足.

10 . 正整数称为“好数”，如果对任意不同于的正整数，均有，这里，表示实数的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.