1 . 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“可爱数”.比如，16就是一个“可爱数”.在自然数列中从1开始数起，第2023个“可爱数”是__________.

2 . （1）已知，求证；
（2）利用（1）的结论，证明：（且）.

3 . 已知函数
   
(1)请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；
(2)定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.
①求函数的不动点；
②求函数的稳定点.

4 . 我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）
(1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；
(2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？

5 . 下列说法中正确的有（       ）

A．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是

B．若实数满足，则

C．已知，且，则的最小值为10

D．已知，则的最小值是

6 . 如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明：
   
(1)点在的外接圆上；
(2)为定点.

7 . 平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程.

8 . 古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（       ）（）

A．km

B．km

C．km

D．km

9 . 已知肿瘤中1%为恶性肿瘤，99%为良性肿瘤，用一台X光机判断肿瘤类型，误诊的概率为0.1，若有一患者被诊断为恶性肿瘤，则其被误诊的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为__________．