解题方法
1 . 对于数列,若存在,使得对任意,总有,则称为“有界变差数列”.
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列,求其公比q的取值范围;
(2)若数列满足,且,证明:是有界变差数列;
(3)若,均为有界变差数列,且,证明:是有界变差数列.
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列,求其公比q的取值范围;
(2)若数列满足,且,证明:是有界变差数列;
(3)若,均为有界变差数列,且,证明:是有界变差数列.
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2 . 已知椭圆的长轴为4,直线与圆相切于点,与相交于,两点,且,,.
(1)记的离心率为,证明:;
(2)若轴右侧的点在上,且轴,,是圆的两条切线,切点分别为,(在上方),求的值.
(1)记的离心率为,证明:;
(2)若轴右侧的点在上,且轴,,是圆的两条切线,切点分别为,(在上方),求的值.
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3 . 如图,抛物线与轴负半轴交于点,与轴正半轴交于点,与轴交于点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设是第四象限内抛物线上的点,连接.
①求点的坐标;
②连接,若点是抛物线上不重合的两个动点,在直线上是否存在点(点按顺时针方向排列,点按顺时针排列),使得且?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设是第四象限内抛物线上的点,连接.
①求点的坐标;
②连接,若点是抛物线上不重合的两个动点,在直线上是否存在点(点按顺时针方向排列,点按顺时针排列),使得且?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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4 . 如图,在平面直角坐标系中,直线经过点,与轴正半轴交于点,与反比例函数交于点,且轴交反比例函数于点.
(1)求的值;
(2)如图1,若点为线段上一点,设的横坐标为,过点作,交反比例函数于点.若,求的值.
(3)如图2,在(2)的条件下,连接并延长,交轴于点,连接,在直线上方是否存在点,使得与相似(不含全等)?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求的值;
(2)如图1,若点为线段上一点,设的横坐标为,过点作,交反比例函数于点.若,求的值.
(3)如图2,在(2)的条件下,连接并延长,交轴于点,连接,在直线上方是否存在点,使得与相似(不含全等)?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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5 . 集合由有限个实数组成,定义集合的离距如下:实数轴上,集合中的每个实数对应一个点,实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为,称函数的最小值为集合的离距,记为.例如,集合的离距是0,集合的离距是2.
(1)分别求出集合的离距;
(2)求数集的离距;
(3)已知非空数集满足,试写出一个关于的大小关系的等式或不等式,并给出证明.
(1)分别求出集合的离距;
(2)求数集的离距;
(3)已知非空数集满足,试写出一个关于的大小关系的等式或不等式,并给出证明.
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名校
6 . 多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由,,…等多个自变量唯一确定的因变量,则当变化为时,变化为,记为对的导数,其符号为.和一般导数一样,若在上,已知,则随着的增大而增大;反之,已知,则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外,还具有下列性质:①可加性:;②乘法法则:;③除法法则:;④复合法则:.记.(为自然对数的底数),
(1)写出和的表达式;
(2)已知方程有两实根,.
①求出的取值范围;
②证明,并写出随的变化趋势.
(1)写出和的表达式;
(2)已知方程有两实根,.
①求出的取值范围;
②证明,并写出随的变化趋势.
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7 . 定义:过曲线上的某一点向曲线的凹侧作与曲线相切的圆,当该圆的半径最大时,该圆的半径称为曲线在该点处的曲率半径.则下列说法正确的有__________ .
①双曲线在顶点处的曲率半径为;
②曲线在点处的曲率半径最小;
③若椭圆在上顶点处的曲率半径与在右顶点处的曲率半径之比为8,则该椭圆的离心率为
①双曲线在顶点处的曲率半径为;
②曲线在点处的曲率半径最小;
③若椭圆在上顶点处的曲率半径与在右顶点处的曲率半径之比为8,则该椭圆的离心率为
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8 . 已知函数,点为平面内一点,则下列说法错误的是( )
A.当,时,过点可作曲线的三条切线 |
B.当,时,过点可作曲线的三条切线 |
C.若过点不能作曲线的切线,则, |
D.若过点可作曲线的两条切线,则, |
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9 . 设是正实数数列.
(1)若收敛,求证:存在严格递增的无界正实数数列满足收敛.
(2)若收敛,是否一定存在严格递增的正整数数列,满足收敛,且?
(1)若收敛,求证:存在严格递增的无界正实数数列满足收敛.
(2)若收敛,是否一定存在严格递增的正整数数列,满足收敛,且?
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10 . 设,满足.
(1)证明:若,则当时,.
(2)若存在满足,证明.
(1)证明:若,则当时,.
(2)若存在满足,证明.
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