1 . 右图是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的,在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载,若图中大正方形的边长为5,小正方形的边长为2,现做出小正方形的内切圆,向大正方形所在区域随机投掷
个点,有
个点落在圆内,由此可估计
的近似值为
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/7/31/2000455625932800/2001635050160128/STEM/dd8fde76896d42c8bac449fe32ac730d.png?resizew=151)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/7/31/2000455625932800/2001635050160128/STEM/dd8fde76896d42c8bac449fe32ac730d.png?resizew=151)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2 . 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,
,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推. 设该数列的前
项和为
,
规定:若![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/188596a6765896c794118d3a39dc0fab.png)
,使得
(![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e84b6d7d85ca0f0bb173f209a909c7c.png)
),则称
为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前3个“佳幂数”;
(2)试判断50是否为“佳幂数”,并说明理由;
(3)(i)求满足
>70的最小的“佳幂数”
;
(ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08eb71ecf8d733b6932f4680874dbbf3.png)
规定:若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/188596a6765896c794118d3a39dc0fab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/858911660b233271d57b17e358232d45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d76a1197aaabd0077aafc8d6e850747d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e84b6d7d85ca0f0bb173f209a909c7c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cad135b14c9dcd83eab6618d7694c7b0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前3个“佳幂数”;
(2)试判断50是否为“佳幂数”,并说明理由;
(3)(i)求满足
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
(ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.
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2018-01-26更新
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662次组卷
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3卷引用:北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题
北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(已下线)微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中四校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷
3 . 伟大的数学家高斯说过:几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题
一位同学受到启发,借助上面两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式:
的一种“图形证明”.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/8/baab102d-4642-4d80-ac4e-405b1c9d2e7d.png?resizew=298)
证明思路:
(1)图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积;
(2)图1中阴影区域的面积为
,图2中,设
,图2阴影区域的面积可表示为______
用含
,
,
,
,
的式子表示
;
(3)由图中阴影面积相等,即可导出不等式
当且仅当
,
,
,
满足条件______ 时,等号成立.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c90282d4a37c9a20620d4bbb0c263cae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd0bbac8f3e00fd58c206d93a20a3f92.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/8/baab102d-4642-4d80-ac4e-405b1c9d2e7d.png?resizew=298)
证明思路:
(1)图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积;
(2)图1中阴影区域的面积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/27562a5708b98d015cf417e65dc8e5f0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6eb689a793465929f004e561242fa993.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fd995178601c2ad7b40f973d268c7bb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/071a7e733d466949ac935b4b8ee8d183.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c02bc0c74292b1e8f395f90935d3174.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c24095e409b025db711f14be783a406c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04582116cd765fcc5a52f44279ad6c94.png)
(3)由图中阴影面积相等,即可导出不等式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be8f5cb1ec1f91de107169495a47cbba.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/071a7e733d466949ac935b4b8ee8d183.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c02bc0c74292b1e8f395f90935d3174.png)
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2018-01-22更新
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638次组卷
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2卷引用:北京市朝阳区2018届高三第一学期期末理科数学试题
4 . 高斯说过,他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一位同学受到启发,按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”:
(1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积;
(2)左图阴影区域面积用表示为
(3)右图中阴影区域的面积为 ;
(4)则柯西不等式用字母可以表示为
.
请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程:
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2018-01-22更新
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619次组卷
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3卷引用:北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题
5 . 如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影).设直角三角形有一内角为30°,若向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/11/12/2074015604940800/2075334672302080/STEM/76e418a46edf4d30ab3e7ada567cbd84.png?resizew=117)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/11/12/2074015604940800/2075334672302080/STEM/76e418a46edf4d30ab3e7ada567cbd84.png?resizew=117)
A.134 | B.866 | C.300 | D.500 |
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2018-01-18更新
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455次组卷
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2卷引用:湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测(一)数学(理)试题
6 . “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角
,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8c95fa7f61564978c8e26616bc14449e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/2/19/1885838150434816/1891876129816576/STEM/5ee64e1f8fa2432691443733978b4809.png?resizew=100)
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名校
解题方法
7 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅弦图,后人称其为“赵爽弦图”.弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图(1)).若直角三角形的两条直角边
,将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到图(2)所示的“数学风车”,在该“数学风车”内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/26/3e5422f0-2333-40e5-8c5b-6221c11e5ab4.png?resizew=259)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/214d10f14e8ceabdc5745b097dae2a17.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/26/3e5422f0-2333-40e5-8c5b-6221c11e5ab4.png?resizew=259)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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8 . 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实,黄实,利用
勾
股
(股
勾)
朱实
黄实
弦实,化简,得
,设勾股中勾股比为
,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/47e461727449e22cdf9d0ba260952e56.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2468403b3eba9e40bfa36f464e927738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d4cd9a7068de096606d1ab991f5e6da.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4bfc339cf6dd66599db64fa3fa44e608.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e709298207cf8c851dfb947b4d9287a3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d4cd9a7068de096606d1ab991f5e6da.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6706fe00b4e231e62d9ecbec567d526b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6cabdc4084405aab239b92c23f6a4eb6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db20862b954cd1886f4765657a46d91c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2017/9/22/1779699135848448/1781467112407040/STEM/701e63d3a3d041dc8695fc7270f7f74f.png?resizew=143)
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9 . 数列
是正整数
的任一排列,且同时满足以下两个条件:
;②当
时,
(
).记这样的数列个数为
.
(Ⅰ)写出
的值;
(Ⅱ)证明
不能被4整除.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9304e71a623c4412188a800046a970d0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/987e30395d91964ebd0395faf2f66600.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b065334d8f60c49f4bd3d9f1373fe4cd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0704f453b2de48d36911f7db496bbf82.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c8f93c54dad6360a159db2d17609ede.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5dd7b6f92256833e6b9b849db8d4cca1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8d4fc8faefb26b233d4aa9dbef043aae.png)
(Ⅰ)写出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/95e565b629c1cde32e9b627ef6b954d4.png)
(Ⅱ)证明
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/338326674cfb0887c21997a738905132.png)
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2017-11-13更新
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909次组卷
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2卷引用:北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试 数学理
10 . 中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”,通过数形结合,给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中,以弦为边长得到的正方形
是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成,这一图形被称作“赵爽弦图”.若
,则在正方形
内随机取一点,该点恰好在正方形
内的概率为
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/3/17/1904210990596096/1904724146380800/STEM/03695309-e1ae-480e-a132-082549fd9243.png?resizew=247)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ee366b751d4d22d350154bf25511c6d9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/611f100dcfa7803db6eb233e2e7f2dab.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/3/17/1904210990596096/1904724146380800/STEM/03695309-e1ae-480e-a132-082549fd9243.png?resizew=247)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2018-03-18更新
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244次组卷
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2卷引用:甘肃省2018届高三第一次诊断性考试数学(理科)试题