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1 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元：（3）整体代入：（4）整体求和等.例如，
，求证：
.证明：原式
.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等式
，当且仅当
时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在
的条件下，当x为何值时，
有最小值，最小值是多少？
，求证：.证明：原式.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？
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解题方法
2 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1)已知，求
的值；
(2)若
，解方程
；
(3)若正数
满足，求
的最小值．
例如，已知
，求证：．证明：原式
．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1)已知
，求的值；(2)若
，解方程；(3)若正数
满足，求的最小值．
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2022-10-21更新
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437次组卷
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4卷引用：广东省中山市2022-2023学年高一上学期第一次调研数学试题
广东省中山市2022-2023学年高一上学期第一次调研数学试题四川省成都市第七中学2023年高三上学期1月月考数学文科试题四川省攀枝花市第三高级中学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）第03讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式章节综合测试-【练透核心考点】
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解题方法
3 . 悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为
，其中
为参数.当
时，该方程就是双曲余弦函数
，类似的我们有双曲正弦函数
.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；
①
；
②
；
③
.
(2)求证：
，
.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；①
；②
；③
.(2)求证：
，.
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2022-02-01更新
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1295次组卷
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7卷引用：江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期“同济大学”杯数理化联赛数学试题重庆市2023届高三下学期3月月度质量检测数学试题湖南省株洲市南方中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式）讲
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解题方法
4 . 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.在直四棱柱
中，E，F分别为线段
与
上的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）从三棱锥
中选择合适的两条棱填空：__________⊥__________，使得三棱锥为“鳖臑”；并证明你的结论.
中，E，F分别为线段与上的中点.（1）求证：
平面；（2）从三棱锥
中选择合适的两条棱填空：__________⊥__________，使得三棱锥为“鳖臑”；并证明你的结论.
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2021-08-07更新
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373次组卷
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2卷引用：江苏省苏州市震泽中学2021-2022学年高一(杨班)下学期期中数学试题
5 . 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角
的大小为_________ .
的大小为
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6 . 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般有这样的结论:第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m，k（m，
）的数字公式表示上述结论，并给予证明.
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般有这样的结论:第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m，k（m，
）的数字公式表示上述结论，并给予证明.
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7 . 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵
中，若
， 
.
为阳马；
(2)若直线与平面
所成的角为
时，求该堑堵的体积；
(3)当阳马的体积最大时，求点
到平面
的距离.
中，若， .
为阳马；(2)若直线
与平面所成的角为时，求该堑堵的体积；(3)当阳马
的体积最大时，求点到平面的距离.
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2023-02-03更新
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244次组卷
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2卷引用：上海市回民中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
名校
8 . 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，
为线段
上的点，且
为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于
，连结
，过点作
的垂线，垂足为
，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________ ．（填写序号）
①
②
③
④
为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为①
②③
④
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2023-02-02更新
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476次组卷
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5卷引用：第一章 预备知识 单元检测-2022-2023学年高一数学北师大版（2019）必修第一册
名校
解题方法
9 . 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2．
平面GCF；
(2)若二面角A—EF—B的大小为
，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
平面GCF；(2)若二面角A—EF—B的大小为
，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
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2023-01-12更新
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462次组卷
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4卷引用：吉林省长春市绿园区长春市十一高中2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 已知
是非空数集，如果对任意
，都有
，则称是封闭集.
(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合
是封闭集，则
也是封闭集；
命题
：若非空集合是封闭集，且
，则
也是封闭集；
(3)若非空集合是封闭集合，且
为全体实数集，求证：
不是封闭集.
是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题
：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；(3)若非空集合
是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
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2023-01-06更新
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785次组卷
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8卷引用：第一章 预备知识 测试卷-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册
第一章 预备知识 测试卷-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题（已下线）1.1集合的概念（分层作业）-【上好课】湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）1.3 集合的基本运算（精练）-《一隅三反》（已下线）专题02 高一上期中真题精选-期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）周测1 集合与常用逻辑用语 一轮周测卷（提升卷）
