1 . 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中
均为自然数，则满足条件的有序数组
的个数是__________ .（用数字作答）
．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是
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2024-05-04更新
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787次组卷
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3卷引用：湖南师范大学附属中学2024届高三下学期模拟（二）数学试卷
解题方法
2 . 数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成
角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为__________ ．
角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为
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3 . 如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：
推广到
，请你算一算
的系数______ ，
的系数______ ．（用组合数表示即可）
推广到，请你算一算的系数的系数
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4 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边
，若
，
，则
__________ .
，若，，则
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2024-06-13更新
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428次组卷
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2卷引用：四川成华区某校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
名校
5 . “弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形
中，有4个全等的直角三角形，若图中
的两锐角分别为
，且小正方形与大正方形的面积之比为
，则
的值为________ ．
中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为
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6 . 古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图，
为线段
中点，
为上的一点以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于
.连接
，
，
，过点作的垂线，垂足为
.设
，
，则图中线段
，线段
，线段______ 
；由该图形可以得出
，
，
的大小关系为______ .
为线段中点，为上的一点以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连接，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段；由该图形可以得出，，的大小关系为
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7 . 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角
的大小为_________ .
的大小为
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解题方法
8 . 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角
的顶点与坐标原点重合，点
在第四象限，且点在双曲线
的一条渐近线上，而
与
在第一象限内交于点
.以点为圆心，
为半径的圆与在第四象限内交于点
，设
的中点为
，则
.若
，则
的值为__________ .
的顶点与坐标原点重合，点在第四象限，且点在双曲线的一条渐近线上，而与在第一象限内交于点.以点为圆心，为半径的圆与在第四象限内交于点，设的中点为，则.若，则的值为
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名校
解题方法
9 . 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
（
且
）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆
，，为椭圆长轴的端点，，为椭圆短轴的端点，，
分别为椭圆的左右焦点，动点
满足
，
面积的最大值为
，
面积的最小值为
，则椭圆的离心率为______ .
（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆，，为椭圆长轴的端点，，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为
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名校
10 . 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径
上（不与点重合），且
．设
，则
__________ （用
表示），由
可以得出的关于的不等式为__________ ．
在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则表示），由可以得出的关于的不等式为
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