1 . 设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.

3 . 拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值.设一次函数满足，可得在上的一次插值多项式，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式.已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足
(1)求，并证明当时，；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)利用计算的近似值，并证明其误差不超过.
（参考数据：；结果精确到0.001）

6 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．

7 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.

8 . 若函数的定义域为全体正整数集合，则称：或，为数列，简记为，数列中的每一项即为.我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭.其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去.第一天截下，第二天截下，第天截下...不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0.我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为.
(1)已知数列，，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比.
(2)设数列满足，且，证明：.
(3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”.问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”.

9 . 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中．

10 . 一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交，则称该直线是两条异面直线的公垂线，并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段，公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离．
(1)用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义．
(2)证明：两条异面直线的公垂线有且仅有一条．
(3)在空间直角坐标系中，直线过点，方向向量；直线过点，方向向量，试问：与是否共面？
Ⅰ．若共面，
（ⅰ）求与交点的坐标．
（ⅱ）已知，记与所确定的平面为，记与所确定的平面为，若，试问：是否确定？若确定，求出的单位方向向量；若不确定，请说明理由．
Ⅱ．若异面，
（ⅰ）请给出证明．
（ⅱ）为与的公垂线，，求与之间的距离．
（ⅲ）求．