名校
1 . 如图，给定外心为
的锐角
，令
分别为
到对边的垂足.
为的外接圆在
和
处的切线的交点.一条经过且垂直于
的直线交直线
于
为
在上的投影.证明：
.
的锐角，令分别为到对边的垂足.为的外接圆在和处的切线的交点.一条经过且垂直于的直线交直线于为在上的投影.证明：.
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2 . 设数列
满足
，且对任意整数
是最小的不同于
的正整数，使得
与
互质，但不与
互质.证明：每个正整数都在中出现.
满足，且对任意整数是最小的不同于的正整数，使得与互质，但不与互质.证明：每个正整数都在中出现.
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3 . 设实数
，且
，求证：
.
，且，求证：.
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4 . 如图，已知抛物线
的焦点为
，直线
与抛物线交于
两点，过分别作抛物线的切线
，交于点
.过抛物线上一点
（在
下方）作切线
，交于点
.
(1)当
时，求
面积的最大值；
(2)证明
四点共圆.
的焦点为，直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，交于点.过抛物线上一点（在下方）作切线，交于点.(1)当
时，求面积的最大值；(2)证明
四点共圆.
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解题方法
5 . 设非负实数
，
，
，证明：
.
，，，证明：.
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6 . 已知素数
，
满足
.证明：存在正整数
使得
的十进制表示的各位数字之和是2或3.
，满足.证明：存在正整数使得的十进制表示的各位数字之和是2或3.
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7 . 数列定义为
，
．证明，存在正整数
，使得
．
定义为，．证明，存在正整数，使得．
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8 . 如图，
是的外接圆，
是弧
（不含）上一点，
为弧
的中点.为线段
上一点，过作
的平行线交
于点
，过作
的平行线交
于点
，过作的平行线交弧
于点
.已知上的点
满足
被
平分.证明：
.
是的外接圆，是弧（不含）上一点，为弧的中点.为线段上一点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，过作的平行线交弧于点.已知上的点满足被平分.证明：.
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9 . 给定正整数
.记
，
，2，3，….证明：对任意素数
，存在无穷多个非负整数对
，满足
，
，…，
这100个数都能被
整除，并且都不能被
整除.
.记，，2，3，….证明：对任意素数，存在无穷多个非负整数对，满足，，…，这100个数都能被整除，并且都不能被整除.
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10 . 设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=
.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，
均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足
或
成立.
.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足或成立.
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