1 . 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先贏2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.
(1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；
(2)求第轮比赛甲轮空的概率；
(3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.

2 . 已知两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记次交换后，盒子中有一黑一白两个小球的概率为盒子中黑球的个数为．
(1)求；
(2)求的数学期望．

3 . 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项   Ⅱ 随机选两个选项   Ⅲ 随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好

4 . 已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）．
(1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？
(2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由．

5 . 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个除颜色外，大小、形状均相同的小球，其中5个红球，5个白球，顾客从中抽取5个球，记抽取到的红球个数为x，白球个数为y．规定：为一等奖，奖励一份价值100元的礼品；为二等奖，奖励一份价值50元的礼品；为参与奖，奖励一份价值10元的礼品．现有两种抽奖方式：
方式一：从抽奖箱中一次性抽取5个小球．
方式二：从抽奖箱中有放回地抽取5次，每次抽取1个小球．
(1)记采用方式一抽奖一次所得奖励价值为X，求随机变量X的分布列与数学期望；
(2)若该商场一天内预计有3000名顾客参与抽奖，顾客选择方式一和方式二抽奖的概率分别为和，试估计该商场一天内需要准备多少金额的奖品．（结果取整数）

6 . 某批零件一级品的比例约为，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为．某项任务需要使用该零件次（若使用期间出现故障则换一件使用）．
(1)某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率；
(2)当时，求发生故障次数的分布列及期望．

7 . 有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到6点朝上的概率为，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为，是的极大值点．
(1)求；
(2)若且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率；
(3)若且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了乙骰子的概率为，试问当取何值时最大？并求的最大值（精确到0.01）．(参考数据)

8 . 某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：

样本号	1	2	3	4	5
第天	1	2	3	4	5
参观人数	2.4	2.7	4.1	6.4	7.9

并计算得，．
(1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；
(2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．
附：回归直线方程，其中．

9 . 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.

尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中.
(1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
(2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.

10 . 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响．
(1)求甲的累计得分的分布列和期望；
(2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．