1 . 为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型．
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n次交流中甲被选择的概率（，）．

2 . 已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数，求，并根据，求；
(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.

3 . 教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：

甲	77	73	77	81	85	81	77	85	93	73	77	81
乙	71	81	73	73	71	73	85	73

已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差.
(1)求这20次投篮次数的平均数与方差.
(2)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.

4 . 甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93   95   81   72   80   82   92
乙：85   82   77   80   94   86   92   84   85
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.
(1)求甲乙两位同学测试成绩的方差；
(2)为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	161	200	216	225	230	234	237	239
2	18.5	19.0	19.2	19.2	19.3	19.3	19.4	19.4
3	10.1	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04
5	6.61	5.79	5.41	6.19	5.05	4.95	4.88	4.82
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44

例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.

5 . 定义两组数据，的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中．
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1	5	3	4	9	8	7	6	10	2	12	14	13	11	15

(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；
(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有人，试求的分布列和数学期望．

6 . 蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株．
(1)经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率；
(2)从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值；
(3)该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元）

7 . 城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园，其中位于半圆的直径上，位于半圆的圆弧上，记.

(1)求矩形面积关于的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值.
(2)部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆的圆弧上取两点，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域也全部进行绿化建设，其中分别在直线上，与平行，在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？

8 . 平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目．
(1)若，求的分布列；
(2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望；
(3)当时，求的最小值，使得．
（参考公式：若，则）

9 . 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间（单位：小时），得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图.

   

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间；（每组数据用该组的区间中点值作代表）
(3)将（2）所得到的日平均阅读时间保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差.

10 . 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统和系统），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统的得分为分.
(1)求的分布列；
(2)若系统和在试验开始时都赋予2分，表示“系统的累计得分为时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则，，其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若，则先启动系统；若，则先启动系统；若，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为.
①证明：；
②若，由①可求得，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.