1 . 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间个月的二次函数是常数，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元．
(1)求前6个月的累计生产净收入g(6)的值；
(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．

2 . 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工人（，且为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员人，留岗员工可多创利润千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员人，留岗员工可多创利润千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.
（1）设公司裁员人数为，写出公司获得的经济效益（千元）关于的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；
（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

3 . 设数列和的项数均为，则将两个数列的偏差距离定义为，其中.
（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；
（2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的偏差距离小于2020，求最大值；
（3）记是所有7项数列或的集合，，且中任何两个元素的偏差距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.

4 . 设函数在上有定义，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质.
（1）当，且在区间上具有性质时，求常数的取值范围；
（2）已知（），且当时，，判别在区间上是否具有性质，试说明理由.

5 . 如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.
（1）判断函数，，，，是否为“可拆分函数”?(需说明理由)
（2）设函数为“可拆分函数”，求实数a的取值范围.

7 . 定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x₁，x₂∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax²+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

8 . 设函数在上有定义，实数和满足.若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质P.
（1）当，且在区间上具有性质P，求常数C的取值范围；
（2）已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质P；
（3）若对于满足的任意实数和，在区间上具有性质P，且对于任意，当时，有：，证明：当时，.

9 . 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；
（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.

10 . 对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的.