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解题方法
1 . 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图(1)是一个面积为1的实心正三角形,分别连接这个正三角形三边的中点,将原三角形分成4个小正三角形,并去掉中间的小正三角形得到图(2),再对图(2)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(3),再对图(3)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图(4),…,依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为,第n个图形中实心区域的面积为.(1)写出数列和的通项公式;
(2)设,证明.
(2)设,证明.
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2 . 九章算术是中国古代第一部数学专著,是算经十书中最重要的一种,成于公元一世纪左右.在其“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”意思是说:如图,矩形城池,东边城墙长里,南边城墙长里,东门点,南门点分别是,的中点,,里,经过点,则等于多少里?请你根据上述题意,求出的长度.
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3 . 已知为有穷整数数列,共有项.给定正整数,若对任意的,在中,存在,使得,表示中最大的一项,表示中最小的一项,则称为有界数列.
(1)判断是否为有界数列,判断是否为有界数列,说明理由;
(2)若共有4项,,且为单调递增数列,写出所有的,使得为有界数列;
(3)若为有界数列,证明:.
(1)判断是否为有界数列,判断是否为有界数列,说明理由;
(2)若共有4项,,且为单调递增数列,写出所有的,使得为有界数列;
(3)若为有界数列,证明:.
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4 . 在初中的时候,我们知道三角形是有稳定性的,那为什么它有稳定性,而平行四边形没有稳定性呢?GGbond数学研究小组对这个问题进行了探究,上网查阅了资料,了解了一个公式,已知三角形三边长度为a,b,c,三个角为A,B,C,那么,请你结合这个公式,来思考这个问题,并回答:
(1)请利用这个公式说明边长为3,3,7的三角形是不存在的;
(2)证明这个公式;
(3)若一个平行四边形四边长为1,1,2,2,请说明这样的平行四边形有几个,请直接写出你的答案;
(4)请利用这个公式,阐述为什么三角形有稳定性,而平行四边形没有稳定性.
(1)请利用这个公式说明边长为3,3,7的三角形是不存在的;
(2)证明这个公式;
(3)若一个平行四边形四边长为1,1,2,2,请说明这样的平行四边形有几个,请直接写出你的答案;
(4)请利用这个公式,阐述为什么三角形有稳定性,而平行四边形没有稳定性.
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解题方法
5 . 2024年6月25日14时07分,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域,工作正常,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功,实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况,随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查,调查结果如下表:
(1)完成上述列联表,依据该统计数据,能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关?
(2)为了激发同学们对探月工程的关注,该校举办了一次探月知识闯关比赛,比赛有两个答题方案可供选择:
方案一:回答4个问题,至少答对3个问题才能晋级;
方案二:在4个问题中随机选择2个问题作答,都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为,振华同学回答这4个问题正确与否相互独立,则振华选择哪种方案晋级的可能性更大?
附:
关注 | 不关注 | 合计 | |
男生 | 55 | 60 | |
女生 | |||
合计 | 75 |
(2)为了激发同学们对探月工程的关注,该校举办了一次探月知识闯关比赛,比赛有两个答题方案可供选择:
方案一:回答4个问题,至少答对3个问题才能晋级;
方案二:在4个问题中随机选择2个问题作答,都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为,振华同学回答这4个问题正确与否相互独立,则振华选择哪种方案晋级的可能性更大?
附:
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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6 . 中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短,冬至时日影最长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索,如图,在示意图中,产生日影的杆子垂直于地面,长8尺.在夏至时,杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时,杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知,,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺;参考数据:,)
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7 . 自古以来,“福”是人们祝吉的绝妙佳词,是人们共同追求的人生目标,也是中华民族千古永恒的祈福迎祥主题.龙年来临之际,某班开展了“迎龙年新春,写创意福字”的活动.下列作品是四张编号分别为的创意福卡,除图案外其它均相同.现将四张卡片图案面朝下,洗匀后放在桌面上.小明从中随机抽取一张卡片后放回,再从中任意抽取一张后对两张卡片进行创意解说.
(2)求小明抽到的两张卡片图案恰好相同的概率.
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法,求小明抽到卡片所有可能出现的结果总数;
(2)求小明抽到的两张卡片图案恰好相同的概率.
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8 . 一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交,则称该直线是两条异面直线的公垂线,并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段,公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离.
(1)用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义.
(2)证明:两条异面直线的公垂线有且仅有一条.
(3)在空间直角坐标系中,直线过点,方向向量;直线过点,方向向量,试问:与是否共面?
Ⅰ.若共面,
(ⅰ)求与交点的坐标.
(ⅱ)已知,记与所确定的平面为,记与所确定的平面为,若,试问:是否确定?若确定,求出的单位方向向量;若不确定,请说明理由.
Ⅱ.若异面,
(ⅰ)请给出证明.
(ⅱ)为与的公垂线,,求与之间的距离.
(ⅲ)求.
(1)用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义.
(2)证明:两条异面直线的公垂线有且仅有一条.
(3)在空间直角坐标系中,直线过点,方向向量;直线过点,方向向量,试问:与是否共面?
Ⅰ.若共面,
(ⅰ)求与交点的坐标.
(ⅱ)已知,记与所确定的平面为,记与所确定的平面为,若,试问:是否确定?若确定,求出的单位方向向量;若不确定,请说明理由.
Ⅱ.若异面,
(ⅰ)请给出证明.
(ⅱ)为与的公垂线,,求与之间的距离.
(ⅲ)求.
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9 . 在多项式的运算中,二项式定理有着非常重要的作用.当帕斯卡(BlaisePascal,16231662)建立了正整数次幕的二项式定理之后,这个定理又被其他数学家们作了进一步的推广,其中莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)和约翰・伯努利(JohannBernoulli,1667-1748)则将二项式定理推广成多项式定理.
(1)现有7个不同编号的白球,将其中2个球染成红色,3个球染成蓝色,2个球染成黄色,求染色方案的种数.
(2)现有个不同编号的白球,将其中个球染成红色,个球染成蓝色,个球染成黄色,且,求染色方案的种数.(用阶乘符号表示)
(3)“”求和符号可用于求所有满足约束条件的式子的和,例如其中.求的展开式及展开式系数和.
(4)求展开式的项数.
(1)现有7个不同编号的白球,将其中2个球染成红色,3个球染成蓝色,2个球染成黄色,求染色方案的种数.
(2)现有个不同编号的白球,将其中个球染成红色,个球染成蓝色,个球染成黄色,且,求染色方案的种数.(用阶乘符号表示)
(3)“”求和符号可用于求所有满足约束条件的式子的和,例如其中.求的展开式及展开式系数和.
(4)求展开式的项数.
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解题方法
10 . 狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数,若定义在上的函数,则称为狄利克雷函数.证明:函数是偶函数.
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