1 . 首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中P为常数．
（1）求P的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）设的前n项和，证明：．

2 . 如果无穷数列{a_n}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a_n}具有性质P．
（Ⅰ）若a_n（k∈N*），判断数列{a_n}是否具有性质P，并说明理由，
（Ⅱ）若数列{a_n}具有性质P，求证：{a_n}中一定存在三项a_i，a_j，a_k（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；
（Ⅲ）若数列{a_n}具有性质P，则{a_n}中是否一定存在四项a_i，a_j，a_k，a_l，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．

3 . 已知正数，，成等差数列，且公差，求证：，，不可能是等差数列．
设实数，整数，．证明：当且时，．

4 . 已知数列的前项和（为正整数）.
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，试比较与3的大小，并予以证明.

5 . 在数列中，，其中.
（1）若依次成公差不为0的等差数列，求m;
（2）证明：“”是“恒成立”的充要条件;
（3）若，求证：存在，使得.

6 . 设向量，（为正整数），函数在上的最小值与最大值的和为.又数列满足：.
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3）若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论.

7 . 已知数列的前n项和为，
(1)证明：数列是等差数列，并求；
（2）设，求证：

8 . （文）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）求证：；
（2）利用（1）的结论求解：“已知、，求”；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比为，前项和为.试类比问题（1）的结论，给出一个相应的结论并给出证明.并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列，其中，，求数列的前项和.”

9 . 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗．一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜．根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4．
(1)若第一局比赛后甲的红旗个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）；
(3)记甲获得红旗为面时最终甲获胜的概率为，，，证明：为等比数列．

10 . 已知数列满足.
(1)求证：是等差数列.
(2)求数列的通项公式.