1 . 已知函数
   
(1)请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；
(2)定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.
①求函数的不动点；
②求函数的稳定点.

2 . 函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.

(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)设是定义域为的奇函数，当时，，画出的图像，并根据图象写出的单调区间及零点.

3 . 已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，
①若有且只有一个零点，求实数a的取值范围；
②记函数，若关于x的方程有4个根，从小到大依次为，，，，求证：；．

4 . 已知函数的定义域为D，若存在实数a，b，对任意的，有，且使得均成立，则函数的图像关于点对称，反之亦然，我们把这样的函数叫做“函数．
(1)已知“函数”的图像关于点对称，且时，；求时，函数的解析式；
(2)已知函数，问是否为“函数”？请说明理由；
(3)对于不同的“函数”与，若、有且仅有一个对称中心，分别记为和，
①求证：当时，仍为“函数”；
②问：当时，是否仍一定为“函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例．