1 . 已知实数，且过点的直线与曲线交于、两点．
(1)设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值；
(2)设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值．

2 . 已知直线与函数，的图象均相切，切点分别为，.
（1）当直线的斜率为时，求的值；
（2）当时，求证：.

3 . 设为定点，是抛物线：上的一点，若抛物线在处的切线恰好与，两点的连线互相垂直，则称点为点的“伴点”．
（1）求抛物线的焦点的“伴点”；
（2）设，问：当且仅当，满足什么条件时，点有三个“伴点”？试证明你的结论．

4 . 已知，其中且．
（1）若，曲线在点处的切线为，求直线斜率的取值范围：
（2）若在区间有唯一极值点，
①求的取值范围；
②用表示的最小值．证明：．

5 . 已知函数，，在处取得极大值1.
（1）求和的值；
（2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围.
（3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线.

6 . 已知，直线为曲线在处的切线，直线与曲线相交于点且.
(1)求的取值范围；
(2)（i）证明：；
（ii）证明：.