1 . 某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性.若现有份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测次；
方式二：混合检测，将其中份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这份样本逐份检测，因此检测总次数为次，假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是.
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为0.8%.为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取50人进行检测，有两个分组方案：
方案一：将50人分成10组，每组5人；
方案二：将50人分成5组，每组10人.
试分析哪种方案的检测总次数更少？
(取，，)
（2）现取其中份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为；采用混合检测方式，需要检测的总次数为.若，试解决以下问题：
①确定关于的函数关系；
②当为何值时，取最大值并求出最大值.

3 . 某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元（包含10万元和1000万元）的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于l万元，同时不超过投资收益的20%．
(1)写出满足的条件．
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：①；②．试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．

4 . 公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．

5 . 如图，海岸公路MN的北方有一个小岛A（大小忽略不计）盛产海产品，在公路MN的B处有一个海产品集散中心，点C在B的正西方向10处，，，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心.现有两种方案：①沿线段AB开辟海上航线：②在海岸公路MN上选一点P建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN运送到集散中心.已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/、200元/.

（1）求方案①的运输费用；
（2）请确定P点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？

6 . 某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，每台仪器被每位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立．
（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；
（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．

7 . 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A，B两地，A地位于东西方向的直线MN上的陆地处，B地位于海上一个灯塔处，在A地用测角器测得，在A地正西方向4km的点C处，用测角器测得.拟定铺设方案如下：在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km和4万元/km，设，，铺设电缆的总费用为万元.

（1）求函数的解析式；
（2）试问点P选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.

8 . 如图，有一张半径为1米的圆形铁皮，工人师傅需要剪一块顶角为锐角的等腰三角形,不妨设 , 边上的高为 ,圆心为 ，为了使三角形的面积最大，我们设计了两种方案.

（1）方案1：设 为 ，用表示 的面积 ； 方案2：设的高为，用表示 的面积；
（2）请从（1）中的两种方案中选择一种，求出面积的最大值

9 . 一条宽为的两平行河岸有村庄和供电站，村庄与的直线距离都是， 与河岸垂直，垂足为现要修建电缆，从供电站向村庄供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.

(1) 如图①,已知村庄与原来铺设有电缆，现先从处修建最短水下电缆到达对岸后后，再修建地下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值；
(2) 如图②，点在线段上，且铺设电缆的线路为.若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值.

10 . 如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂A、B、C，工厂B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，D为垂足．现要在河岸AD上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．

（1）已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；
（2）如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、EB，若，试用 表示出总施工费用y（万元）的解析式,并求总施工费用y的最小值．