1 . 已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，证明：．

2 . 已知函数，，.
（1）当，时，求函数的最小值；
（2）当，时，求证方程在区间上有唯一实数根；
（3）当时，设，是函数两个不同的极值点，证明：.

3 . 已知函数在处取得极大值．
(1)求a的取值集合；
(2)当时，求证：

4 . 已知函数.
(1)求的最小值；
(2)求证：；
(3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围.

5 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：．

7 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．

8 . 已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)设数列前项和，若，求证：．

10 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.