1 . 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若
的内角
，
，
的对应边分别为
，
，
，面积为
，则“三斜求积”公式为
，
(1)若
，
，
，求面积；
(2)用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：①
；②
，其中
；
(3)若
，且
，求面积的最大值.
的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，(1)若
，，，求面积；(2)用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：①
；②，其中；(3)若
，且，求面积的最大值.
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解题方法
2 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
(1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角
所对的边分别为
，且
，点
为的费马点．
（i）若
，求
；
（ii）求
的最小值．
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：(1)若
是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；(2)
的内角所对的边分别为，且，点为的费马点．（i）若
，求；（ii）求
的最小值．
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解题方法
3 . 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的
，
，
与中间一个小等边
拼成的一个较大的等边．记的面积为
，
的面积为
，的面积为
．
，求
；
(2)设
，当
时，求
以及
的值．
，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为．
，求；(2)设
，当时，求以及的值．
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解题方法
4 . 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，以
，
，
为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.
(2)若
，且的周长为9，求
；
(3)若的面积为
，求的角平分线
的取值范围.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.
(2)若
，且的周长为9，求；(3)若
的面积为，求的角平分线的取值范围.
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名校
解题方法
5 . 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件
时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
．求证：
①
；
②为等边三角形．
(2)若
，求证：
．
内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
．求证：①
；②
为等边三角形．(2)若
，求证：．
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2024-07-19更新
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853次组卷
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6卷引用：广东省佛山市南海区石门中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
广东省佛山市南海区石门中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（已下线）期末测试卷02-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题05 解三角形（2）-期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）（已下线）第10题 多三角形条件下的解三角形问题（压轴小题）（已下线）专题02 解三角形及其应用（2）-【暑假自学课】（人教A版2019必修第二册）（已下线）拔高点突破01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题（十大题型）
名校
6 . 如图，半圆的直径为
，为直径延长线上的点，
，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形
．设
．
时，求四边形
的周长；
(2)克罗狄斯
托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段
的长取最大值时，求
．
(3)当
为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．
时，求四边形的周长；(2)克罗狄斯
托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．(3)当
为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
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解题方法
7 . 在锐角中，角
的对边分别为
，满足
.
(1)求角的大小；
(2)若
，求面积的取值范围；
(3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得
的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得
为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.
中，角的对边分别为，满足.(1)求角
的大小；(2)若
，求面积的取值范围；(3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.
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解题方法
8 . 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角的对应边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为
(1)用“三斜求积”公式证明
；
(2)若，且
，求面积的最大值；
(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体
的外接球表面积为
的外接圆面积为.已知
，且
，
，试用
表示
，并求的取值范围.
的内角的对应边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为(1)用“三斜求积”公式证明
；(2)若
，且，求面积的最大值；(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体
的外接球表面积为的外接圆面积为.已知，且，，试用表示，并求的取值范围.
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9 . 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，
2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. 
时，求四边形的周长；
(2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
(3)若与相交于点
，则当线段的长取最大值时，求
的值.
的直径为2cm，为直径延长线上的点，2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. 
时，求四边形的周长；(2)当
在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；(3)若
与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值.
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2024-07-11更新
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514次组卷
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3卷引用：浙江省丽水市2023-2024学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题
浙江省丽水市2023-2024学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题河南省部分学校2023-2024学年高一下学期联合教学质量检测数学试卷（已下线）拔高点突破01 三角函数与解三角形背景下的新定义问题（十大题型）
10 . 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于
时，则使得
的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.若M是的“费马点”，
，
.
(1)求角A；
(2)若
，求bc的值；
(3)在（2）的条件下，设
，若当
时，不等式
恒成立，求实数n的取值范围.
的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，.(1)求角A；
(2)若
，求bc的值；(3)在（2）的条件下，设
，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围.
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2024-07-02更新
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326次组卷
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2卷引用：重庆市七校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
