1 . 如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．
   
(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．

2 . 在中，点P为所在平面内一点.
(1)若点P在边BC上，且，用，表示；
(2)若点P是的重心.
①求证：；
②若，求.

3 . 如图所示：点是所在平面上一点，并且满足，已知.

(1)若实数，求证：是的重心；
(2)若是的外心，求的值；
(3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求.

4 . 定理：如图，已知P为内一点，则有.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则.
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.
(1)点在内部，满足，求的值；
(2)点为内一点，若，设，求实数和的值；
(3)用“奔驰定理”证明推论②.

5 . 用向量运算刻画三角形的重心．
(1)已知，求一点G满足．
(2)求证：满足条件的点G是的重心．
（提示：说明点G同时在的三条中线上．）

6 . 已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H.

（1）求△ABC中高AD的长度；
（2）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是，则三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值．