1 . 在数列中，，对任意，，，成等差数列，其公差为.
（Ⅰ）若，证明：，，成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为，，证明是等差数列.

2 . 正项数列的前项和满足；
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有；

3 . 已知数列各项不为0，前项和为.
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，已知，分别求和的表达式；
（3）证明：是等差数列的充要条件是：对任意，都有：.

4 . 从数列中取出部分项组成的数列称为数列的“子数列”.
（1）若等差数列的公差，其子数列恰为等比数列，其中，，，求；
（2）若，，判断数列是否为的“子数列”，并证明你的结论.

5 . 设数列的前n项和为,对一切,点都在函数的图像上.
（1）证明：当时,;
（2）求数列的通项公式;
（3）设为数列的前n项的积,若不等式对一切成立,求实数a的取值范围.

6 . 定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.
已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；
(3)若，数列是等比数列，求的数值．

7 . 在数列中，，其中，．
(1)当时，求，，的值．
(2)是否存在实物，使，，构成公差不为的等差数列？证明你的结论．
(3)当时，证明：存在，使得．

8 . 已知数列{}、{}满足：.
（1）求
（2）证明：数列{}为等差数列，并求数列和{}的通项公式；
（3）设，求实数为何值时恒成立.

9 . 已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存
在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．