2 . 设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.

3 . 设数列{a_n}的各项都是正数，记S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N*，都有．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若（为常数且，n∈N*），问是否存在整数，使得对任意 n∈N*，都有b_n+1>b_n．

4 . 设数列的前n项和为，已知，（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足：，．
① 求数列的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

5 . 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数.
（Ⅰ）若，请写出数列的前7项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；
（Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件．

6 . 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数（是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．

7 . 已知正项数列满足：，.为数列的前项和.
（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，.

8 . 对于数列，定义，．
(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；
(2) 若，，求数列的通项公式；
(3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．

9 . 设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.

10 . 已知数列的前项和，且是等比数列的前两项，记与之间包含的数列的项数为，如与之间的项为，则.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.