1 . 设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

2 . 古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列.
（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？
（2）设数列的前项和为，证明：.

3 . 已知等差数列的首项，前项和为，且；等比数列满足，.
(1)求证：数列中的每一项都是数列中的项；
(2)若，设，求数列的前项和；
(3)在(2)的条件下，若有，求的最大值．

4 . 已知为正整数，数列满足，，设数列满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若数列是等差数列，求实数的值；
(3)若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

5 . 设数列{a_n}满足．
（1）若，求证：存在（a，b，c为常数），使数列是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n 是一个等差数列{b_n}的前n项和，求首项a₁的值与数列{b_n}的通项公式．

6 . 对于数列,若存在,则称数列分别为数列的“商数数列”和“余数数列”.已知数列是等差数列,是其前项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.

7 . 等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．

8 . 设是等差数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：

9 . 设等差数列的前项和为，且，，
（1）求等差数列的通项公式．
（2）令，数列的前项和为．证明：对任意，都有．

10 . 已知数列是等差数列，其前n项和为，，
（I）求数列的通项公式；
（II）设是正整数，且．证明：.