1 . 公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半）
(1)求的通项公式;
(2)求证:对于任意正整数依次成等差数列;
(3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由.

2 . 某人在工作一段时间后制定了如下理财计划：将自己第一年末的总资产均分成两半，一半进行再投资，获取资金增值，另一半留在身边作为备用金，并支付生活费开支，第二年末将当年固定收入，投资的本金和收益与身边备用金的余额合并，并按加上理财计划进行再分配，以此类推，已知投资部分每年获得4%的收益，生活费开支需要每年万元.
(1)若此人每一年末总资产为万元，每年有固定收入万元，到第年末，此人的总资产为，试证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)若此人岁退休时有总资产万元，此后每年固定收入为元，按照他的理财计划，那么在他第几岁那一年内，将会遇到个人财政赤字（即当年的备用金低于当年的生活费开支）

3 . 已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：；
(3)比较和的大小．

4 . 已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，且，，数列的前项和为，
(1)记点，证明：在直线上；
(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.

5 . 2017年厦门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神．
据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m（）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记，，，…
(1)①写出一个递推公式，表示与之间的关系；
②证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)为了提前5年实现厦门会晤“零碳排放”的目标，m的最小值为多少？
参考数据：，，

6 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．

7 . 对于函数，若，则称为数列的“本源函数”
（1）设数列的“本源函数”为，且，，求实数m的值；
（2）已知数列的“本源函数”为，，，在数列中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，求；
（3）记表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为，且，，为数列的前n项的和.证明：对满足的任意实数a，b，数列中有无穷多项属于开区间.