1 . 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．
(1)写出的所有可能情况，并求；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)设抛掷n次硬币后的期望为，求．

2 . 某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试．
(1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则．
①证明：数列为等比数列；
②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小．

3 . 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作．
设集合．
(1)求；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造，
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构．
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．

4 . 设n为正整数，数列是首项为1，公比为的等比数列.从中任意选取两项和，若它们的和大于，则称该选取为“有效选取”.
(1)当时，求所有“有效选取”的种数；
(2)若，证明：对于任意的n，都存在“有效选取”；
(3)若，证明：对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于.

5 . 结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？

6 . 将全体定义在上的函数的集合记为．对，，定义上的函数之间的加法和数乘运算：，．已知为一个满足线性关系的映射，即，，这里，，且满足对任意整数，有，数列，，其中．
(1)求，的递推公式；（不需要提供初值，递推公式可以由，组成）
(2)若满足，，且为单调递减的正项数列：
①求，的通项公式；
②记，记为的前项和，证明：为定值，并求出该定值．

7 . 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：．等比数列也有类似变形吗？

8 . 设动点每次沿数轴的正方向移动，且第次移动1个单位的概率为，移动2个单位的概率为已知表示动点在数轴上第次移动后表示的数，在第一次移动前动点在数轴的原点处．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移动2个单位的概率都是移动1个单位的概率的2倍．
①求的概率；
②求动点能移动到自然数处的概率

9 . 过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知．
(1)求点，的坐标；
(2)求数列的通项公式；
(3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：．

10 . 设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．
(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．