1 . 已知数列的首项，设，且的前项和满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：．

2 . 已知数列中，，，数列的前项和满足．数列的前项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记与中相同的项由小到大构成的数列为，求数列的前项和．

3 . 设是公比不为1的等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

4 . 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由?
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a的值．

5 . 已知数列的前项和为，且该数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列，并写出其首项和公比；
(2)若，求数列的前项和.

6 . 某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
(1)写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列；
(2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）

7 . 已知是各项均为正数的数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．

8 . 已知数列和满足，
(1)求的通项公式；
(2)若记的前n项和为，试证： ．

9 . 已知数列满足，.
(1)求，；
(2)求，并判断是否为等比数列.

10 . 在数列中，.
(1)证明：是等比数列.
(2)求的通项公式.
(3)求数列的前项和.