1 . 已知数列和满足：，，且对一切，均有．
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设，记数列的前项和为，求正整数，使得对任意，均有．

2 . 已知数列满足
（1）求证：为等比数列；
（2）求的值.

3 . 已知函数的定义域为实数集，及整数、；
（1）若函数，证明；
（2）若，且（其中为正的常数），试证明：函数为周期函数；
（3）若，且当时，，记，求使得小于1000都成立的最大整数.

4 . 无穷正实数数列具有以下性质
（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个正整数n使下面不等式恒成立
（2）寻一个满足上述条件的数列，使下面不等式对任一正整数n均成立

5 . 定义：若数列中存在，其中，，，，及均为正整数，且（），则称数列为“数列”.
（1）若数列的前项和，求证：是“数列”；
（2）若是首项为1，公比为的等比数列，判断是否是“数列”，说明理由；
（3）若是公差为（）的等差数列且（），，求证：数列是“数列”.

6 . 已知整数满足，定义，.
（1）求证：；
（2）若为等比数列，公比为，且，求；
（3）若，求的最小值.

7 . 抛物线的准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）若线段的垂直平分线交轴于，求证：；
（3）若直线的斜率依次为，，，…，，…，线段的垂直平分线与轴的交点依次为，，，…，，…，求.

8 . 已知函数（），数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列满足（），且中任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，求的取值范围；
（3）设数列满足（），求的前项和.

9 . 已知等比数列的首项,数列前项和记为.
(1) 若，求等比数列的公比；
(2) 在(1)的条件下证明:；
(3) 数列前项积记为 ，在(1)的条件下判断与的大小,并求为何值时, 取得最大值.

10 . 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.
（1）若，是否存在，有？请说明理由；
（2）若（、为常数，且）对任意，有，试求出、满足的充要条件；
（3）若，，试确定所有，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明.