1 . 为数列的前项和满足：.
（1）设，证明是等比数列；
（2）求.

2 . 已知有穷数列A：（且）.定义数列A的“伴生数列”B：，其中（），规定，.
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①1，2，3，4，5；
②1，，1，，1.
（2）已知数列B的“伴生数列”C：，，…，，…，，且满足（，2，…，n）.
（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；
（ⅱ）求数列C所有项的和.

3 . 已知数列的通项公式为，设其前n项和为，则使成立的自然数n

A．有最小值63	B．有最大值63
C．有最小值31	D．有最大值31

4 . 若定义在R上的函数满足：对于任意实数x、y，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数．
已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；
在的条件下，定义数列2，3，求的值．
若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有，证明：函数为偶函数，设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．

5 . 设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．

6 . 对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则

A．2022

B．1011

C．2020

D．1010

7 . 设数列满足：①；②所有项；③．
设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是
数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的
伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；

（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；

（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．

8 . 若或，则称为和的一个位排列，对于，将排列记为，将排列记为，依此类推，直至，对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做和的相关值，记作，例如，则，，若，则称为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列．
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列．
（Ⅲ）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数．

9 . 已知数列中，
（I）求证：数列是等比数列
（II）求数列的通项公式
（III）设，若，使成立，求实数的取值范围.

10 . 等差数列中，已知，且，，为递增的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式（），求数列的前项和.