1 . 如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件______时，就有平面．
（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

2 . 棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．

3 . 已知正方体的棱长为，点、、分别为棱、、的中点，下列结论中，其中正确的命题____________（填序号）

①过、、三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；
②平面；
③四面体的体积等于.

4 . 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是__________．

5 . 如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________.
   

6 . 三棱锥对棱相等，且，，，点分别是线段，的中点，直线平面，且与平面、平面、平面、平面均有交线，若这些交线围成一个平面区域，则的面积的最大值为______.

7 . 如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：

①存在点M，使得平面；
②存在点M，使得直线与直线所成的角为；
③存在点M，使得三棱锥的体积为；
④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线所成的角.
则上述结论正确的有____________.（填上正确结论的序号）

8 . 如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：

①与平面垂直的直线必与直线垂直；
②线段的长为；
③异面直线与所成角的正切值为；
④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.
其中正确结论的序号是_______.（请写出所有正确结论的序号）

9 . 在四面体中，，，平面，，分别为线段，的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面内投影长度的取值范围是__________.

10 . 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点是正方形内的动点.若平面，则点的轨迹长度为________.