1 . 如图，已知正方体的棱长为2，M分别为棱的中点．

(1)证明：；
(2)求平面与平面ABCD所成二面角的余弦值．
（要求用几何法解答）

2 . 如图所示，在半径为2的球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，四棱锥与都是正四棱锥，且到平面的距离为1.设二面角的平面角的大小为.

(1)求该内接八面体的体积；
(2)求的值.

3 . 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB同一侧．

   

(1)当时，求的长度；
(2)当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求；
(3)证明：．

4 . 如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．

   

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)设二面角的平面角为，为虚数单位，为复数，当三棱锥的体积取得最大值时，求的大小

5 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，．

(1)若，求：向量在向量上的投影向量的模；
(2)当，且时，四棱锥是否有外接球?若有，请求出四棱锥的外接球的表面积．
(3)若，且，求二面角的正切值．

6 . 如图，三棱锥是由绕着旋转得到，其中.

   

(1)求证：平面；
(2)求平面PBC与平面ABC所成二面角的正切值.

7 . 已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（       ）

A．

B．

C．

D．2

8 . 将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是_____________.

9 . 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且.

(1)若点是的中点，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

10 . 如图，在正方体中，，点E在棱上，且.

(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角的余弦值.