1 . 已知空间向量
，
，
共面，则实数
______
，，共面，则实数
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2024·全国·模拟预测
2 . 在直三棱柱
中，已知
，
，
为
的中点，点
在
上，若
平面
，则三棱锥
的外接球的表面积为______ .
中，已知，，为的中点，点在上，若平面，则三棱锥的外接球的表面积为
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名校
解题方法
3 . 假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图，地面内有圆
，其圆心在线段
上，且与线段交于不与
重合的点
，
地面，且
，
点为人眼所在处，视网膜平面与直线
垂直. 过点作平面
平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹（令为曲线
）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆的影像为圆时，圆的半径
为____________ . 当圆的半径满足
时，视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为____________ .
，其圆心在线段上，且与线段交于不与重合的点，地面，且，点为人眼所在处，视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹（令为曲线）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆的影像为圆时，圆的半径为的半径满足时，视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为
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2024-05-09更新
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99次组卷
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2卷引用：广东省广州市广东实验中学2024届高三教学情况测试（一）数学B卷
名校
4 . 已知
是空间单位向量，
，若空间向量
满足
，
，且对于任意
，都有
（其中
），则
______ ．
是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则
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5 . 已知正方体
的棱长为1，
，则
的最大值是____________ ．
的棱长为1，，则的最大值是
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名校
6 . 已知
，
是空间单位向量，
，若空间向量
满足
，
，且对于任意
，
，
（
，
），则
______ ，
______ .
，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，（，），则
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解题方法
7 . 若正三棱锥
的底面边长为6，高为
，动点P满足
，则
的最小值为__________ ．
的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为
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解题方法
8 . 在四面体
中，
，
，
，且，
，异面直线
，
所成的角为
，则该四面体外接球的表面积为______ .
中，，，，且，，异面直线，所成的角为，则该四面体外接球的表面积为
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2023-09-29更新
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450次组卷
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2卷引用：河南省开封市通许县等3地2023届高三信息押题卷理科数学试题
名校
9 . 如图，在长方体中，
，
.
，M，N分别是棱
，，
的中点.若点P是平面
内的动点，且满足
平面
，则线段
长度的最小值为__________ .
中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为
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2023-09-28更新
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485次组卷
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5卷引用：第二章 立体几何中的计算 专题七 空间范围与最值问题 微点2 线段、距离、周长的范围与最值问题（二）【基础版】
（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题七 空间范围与最值问题 微点2 线段、距离、周长的范围与最值问题（二）【基础版】天津市河东区天铁第二中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题（四）安徽省芜湖市无为襄安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）高二上期中真题精选（易错60题30个考点专练）【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第三练】
解题方法
10 . 如图，在四棱锥
中，已知
平面，且四边形为直角梯形，
，
，
.点
是线段
上的动点，当直线
与
所成的角最小时，则线段
的长为____________
中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为
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2023-03-28更新
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1105次组卷
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6卷引用：考点巩固卷18 空间向量与立体几何(九大考点)
（已下线）考点巩固卷18 空间向量与立体几何(九大考点)（已下线）考点12 空间角 2024届高考数学考点总动员【练】江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1）（已下线）专题03 空间向量的应用压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）
