1 . 若
，则称
为
维空间向量集，
为零向量，对于
，任意
，定义：
①数乘运算：
；
②加法运算：
；
③数量积运算：
；
④向量的模：
，
对于中一组向量
，若存在一组不同时为零的实数
使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：
①
；
②
；
(2)已知
线性无关，试判断
是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于中的任意两个元素
，均有
，
，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：①数乘运算：
；②加法运算：
；③数量积运算：
；④向量的模：
，对于
中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：①
；②
；(2)已知
线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；(3)证明：对于
中的任意两个元素，均有，
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名校
2 . （1）已知向量
，求
；
（2）求与向量
共线，且满足
的向量
的坐标；
（3）已知
若
，且与
垂直，求
．
，求；（2）求与向量
共线，且满足的向量的坐标；（3）已知
若，且与垂直，求．
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3 . 已知空间中三点
，
，
.
(1)求
；
(2)求
中
边上中线的长度.
，，.(1)求
；(2)求
中边上中线的长度.
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名校
4 . 已知三棱柱
，
，
，
为线段
上的点，且满足
．
平面
；
(2)求证：
；
(3)设平面
平面
，已知二面角
的正弦值为
，求
的值．
，，，为线段上的点，且满足．
平面；(2)求证：
；(3)设平面
平面，已知二面角的正弦值为，求的值．
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2023-11-08更新
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1575次组卷
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4卷引用：江西省宜春市宜丰县宜丰中学2024届高三上学期12月月考数学试题
江西省宜春市宜丰县宜丰中学2024届高三上学期12月月考数学试题江苏省常州市教育学会2023-2024学年高三上学期期中数学试题（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（练习）（已下线）模块三 专题2 解答题分类练 专题3 空间向量线性运算（苏教版）
名校
解题方法
5 . 如图，在三棱柱中，
平面，
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，
，
．，的坐标；
(2)求
的余弦值．
中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
，的坐标；(2)求
的余弦值．
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2023-06-27更新
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767次组卷
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6卷引用：江西省龙南中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题
江西省龙南中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题2.1.1 建立空间直角坐标系 2.1.2 空间两点间的距离（已下线）模块三 专题3 空间向量及的坐标与空间直角坐标系 B能力卷（已下线）模块三 专题3 空间向量及的坐标与空间直角坐标系 B能力卷 （人教B）（已下线）模块四 专题4 大题分类练 《空间向量与立体几何》拔高能力练甘肃省临洮中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
名校
6 . 如图，在直四棱柱
中，
，
，
，E，F，G分别为棱
，
，的中点.
(1)求线段
的长度；
(2)求
.
中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点. (1)求线段
的长度；(2)求
.
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2023-06-20更新
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589次组卷
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7卷引用：江西省吉安市第三中学2022-2023学年高二（艺术类）下学期6月期末数学试题
江西省吉安市第三中学2022-2023学年高二（艺术类）下学期6月期末数学试题福建省连城县第二中学等校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（已下线）第09讲 空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类（2）（已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精练）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题03空间向量及其运算的坐标表示（5个知识点4种题型1个易错点）（3）（已下线）专题04 空间直角坐标系及空间运算的坐标表示8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
21-22高二·全国·课后作业
名校
7 . 已知空间三点
，
，
，设
，
．
(1)设
，
，求
；
(2)求
与的夹角；
(3)若
与
互相垂直，求k．
，，，设，．(1)设
，，求；(2)求
与的夹角；(3)若
与互相垂直，求k．
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2023-06-05更新
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527次组卷
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7卷引用：江西省吉安市第三中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
江西省吉安市第三中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）习题 3-3人教B版(2019) 选修第一册 北京名校同步练习册 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.3空间向量的直角坐标运算（一）（已下线）第09讲 空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类（2）（已下线）3.3.2空间向量运算的坐标表示及应用（同步练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）北师大版（2019）选择性必修第一册课本习题 习题3-3（已下线）第01讲：空间向量（必刷9大考题+9大题型）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
8 . 已知空间三点，，，设，．
(1)若
，
，求；
(2)求，夹角的余弦值．
，，，设，．(1)若
，，求；(2)求
，夹角的余弦值．
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2023-02-11更新
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327次组卷
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6卷引用：江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
名校
9 . 
，
，
.
(1)若
，求
.
(2)若
，求
的值
，，.(1)若
，求.(2)若
，求的值
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2023-01-06更新
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413次组卷
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25卷引用：江西省宜春市第九中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题
江西省宜春市第九中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题（已下线）练习10+空间向量及其运算-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）广西玉林市育才中学2020-2021学年高二12月月考数学（理）试题福建省三明第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）专题1.7 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲-2021-2022学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）广东省广州市第八十九中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题广东省深圳市布吉中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题重庆市暨华中学校2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题广东省佛山市顺德区文德学校2021-2022学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题重庆市南华中学校2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）突破1.3 空间向量及其坐标表示（课时训练）浙江省台州市玉环市玉城中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题河北省张家口市张北县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题广东省佛山市南海区桂华中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段测试数学试题广东省佛山市南海区南海中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖南省邵阳市湘郡铭志学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题广东省肇庆市四会中学、广信中学2022-2023学年高二上学期第一次教学质量联考数学试题广西玉林市第十一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题广西贵港市西江高级中学2022-2023学年高二上学期10月模拟考试数学试题四川省雅安市名山区第三中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题浙江省宁波赫威斯肯特学校2023-2024学年高二普高部上学期第一次月考数学试题重庆市巫溪县尖山中学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题四川天府新区实外高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
名校
解题方法
10 . 已知
，
，点
，
．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得
？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
，，点，．(1)求
的值．(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得
？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
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2022-12-10更新
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376次组卷
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7卷引用：江西省吉水县第二中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
江西省吉水县第二中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题山东省实验中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题福建省宁德市霞浦县宏翔高级中学2022-2023学年高二下学期第一次段考数学试题（已下线）专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（2）山东省潍坊市昌乐及第中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）专题04用空间向量研究直线、平面的位置关系（4个知识点6种题型2个易错点）（3）
