解题方法
1 . 如图，在多面体
中，四边形
是边长为4的菱形，
与
交于点
平面
．
(1)求证：平面
平面；
(2)若
，点
为
的中点，求二面角
的余弦值．
中，四边形是边长为4的菱形，与交于点平面． (1)求证：平面
平面；(2)若
，点为的中点，求二面角的余弦值．
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2023-09-21更新
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658次组卷
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4卷引用：专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）
（已下线）专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）河北省秦皇岛市青龙满族自治县2023届高三联考模拟（三）数学试题宁夏回族自治区贺兰县第二高级中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考试数学试题广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
名校
2 . 如图，在三棱柱
中，
是等边三角形，侧面
底面
，且
，
，M是
的中点．
(1)证明：
．(2)求二面角
的正弦值．
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2023-09-10更新
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1034次组卷
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4卷引用：专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）
（已下线）专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）河北省唐山市迁西县第一中学2023届高三二模数学试题（已下线）专题03 立体几何大题（已下线）通关练03 用空间向量解决距离、夹角问题10考点精练（58题） - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
3 . 如图，正三棱锥P－ABC的所有侧面都是直角三角形，过点P作PD⊥平面ABC，垂足为
，过点作
平面
，垂足为
，连接
并延长交
于点
．
(1)证明：是的中点．
(2)求直线
与平面
夹角的正弦值．
，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点． (1)证明：
是的中点．(2)求直线
与平面夹角的正弦值．
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2023-06-19更新
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452次组卷
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5卷引用：专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）
（已下线）专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 精练（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）河北省廊坊市固安县马庄中学等2校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题
名校
4 . 如图所示，在直四棱柱
中，
，
，
，
，
.
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
中，，，，，.
；(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
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2023-06-25更新
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1992次组卷
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16卷引用：第六章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）第六章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试理科数学试题（已下线）黄金30题系列 高二年级数学（理） 大题好拿分【基础版】【全国百强校】山西省大同市第一中学2017-2018学年高二5月月考数学（理）试题（已下线）专题11 空间角的计算（重点突围）（2）江苏省淮安市六校联盟2022-2023学年高二下学期5月学情调查数学试题第一章 空间向量与立体几何 讲核心03（已下线）模块二 专题1 《空间向量与立体几何》单元检测篇 B提升卷（苏教 )江西省彭泽县第二高级中学2022-2023学年高二下学期7月期末数学试题（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 精讲（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.4 空间向量应用（精练）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结（1）（已下线）专题06 用空间向量研究距离、夹角问题10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
20-21高二·全国·课后作业
5 . 如图，长为1的正方体中，，分别为
，的中点，
在棱
上，且
，
为
的中点.
；
（2）求
的长.
（3）求
与所成角的余弦值；
中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.
；（2）求
的长.（3）求
与所成角的余弦值；
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2021-08-27更新
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1070次组卷
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4卷引用：【导学案】 2.3.2 空间向量运算的坐标表示 课前预习-湘教版（2019）选择性必修第二册 第2章 空间向量与立体几何
【导学案】 2.3.2 空间向量运算的坐标表示 课前预习-湘教版（2019）选择性必修第二册 第2章 空间向量与立体几何（已下线）第六课时 课中 1.3.2 空间向量运算的坐标表示.（已下线）专题07 空间向量数量积的坐标运算及空间两点距离公式（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）3．2 空间向量基本定理
名校
6 . 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB的夹角的余弦值；
(3)求二面角A－MC－B的余弦值．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB的夹角的余弦值；
(3)求二面角A－MC－B的余弦值．
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2019-01-23更新
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563次组卷
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3卷引用：1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）【全国百强校】青海省西宁市第四高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）专题10 空间角与空间距离的综合（2） - 期中期末考点大串讲
7 . 在平面四边形中，
，
，将
沿折起，使得平面
平面
，如图．
；
（2）若
为
中点，求直线与平面
所成角的正弦值．
中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
；（2）若
为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
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2016-12-12更新
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5602次组卷
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24卷引用：第一章 空间向量与立体几何单元总结（思维导图+知识记诵+能力培养）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）
第一章 空间向量与立体几何单元总结（思维导图+知识记诵+能力培养）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）2016-2017学年山西怀仁一中高二理上学期月考三数学试卷河北省保定市定兴中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题福建省莆田市第二十四中学2017-2018学年高二上学期第二次月考（12月）数学（理）试题2018年秋人教B版数学选修2-1第三章检测【全国百强校】福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题江苏省镇江中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题2019届百师联盟全国高三冲刺考（四）全国 II 卷理科数学试卷人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2 用空间向量研究夹角问题人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角海南省临高中学2021届高三上学期第一次月考数学试题安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二(奥赛班)上学期10月月考数学(理)试题贵州省毕节市七星关区海子街中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题江苏省镇江中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题江苏省徐州市新沂市棋盘中学2020-2021学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题四川省眉山市眉山第一中学2021-2022学年高二上学期11月月考数学理科试题四川省凉山宁南中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题（已下线）专题24 盘点立体几何中折叠问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破河南省河南大学附属中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学（理）试题山东省德州市陵城区祥龙高级中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项湖北省武汉情智学校2023-2024学年高二上学期10月质量检测数学试题（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-1
真题
8 . 如图，四棱柱的所有棱长都相等， 
，四边形
和四边形 
为矩形．
底面 ；
（2）若
，求二面角 
的余弦值．
的所有棱长都相等， ，四边形和四边形 为矩形．
底面 ；（2）若
，求二面角 的余弦值．
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2016-12-03更新
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3774次组卷
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24卷引用：第六章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）第六章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷）陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高三教学质量检测数学理试题人教B版(2019) 必修第四册 过关斩将 第十一章 立体几何初步 专题强化练3 折叠问题+专题强化练4 空间角的有关计算沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第九章 空间图形与简单几何体高考题选（已下线）第二章 空间向量与立体几何（能力提升）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（北师大版选修2-1）（已下线）专题05 用空间向量研究距离、夹角问题 知识精讲-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）（已下线）第十一课时 课中 1.4.2.2 夹角问题北师大版 必修2 过关斩将 第一章 立体几何初步 §5-§7综合拔高练山东省淄博市淄川中学2018-2019学年高二6月月考数学试题（已下线）2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题（已下线）1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）沪教版(2020) 选修第一册 单元训练 第3章 单元测试（已下线）2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题【新教材精创】1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题（2）教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册【新教材精创】1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题（2）导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）专题11 空间角的计算（重点突围）（2）（已下线）第3章 空间向量及其应用【单元提升卷】北师大版(2019) 选修第一册 数学奇书 第三章 空间向量与立体几何 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时 空间中的角（已下线）第04讲 空间向量的应用（4大考点）广东省汕头市潮南区龙岭中英文学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第一章空间向量与立体几何(知识清单+典型例题)（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-2
真题
9 . 如图，在△ABC中，∠ABC=
，∠BAC
，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC
．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求
与
夹角的余弦值．
，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求
与夹角的余弦值．
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2016-12-03更新
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2103次组卷
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6卷引用：第一章 空间向量与立体几何单元总结（思维导图+知识记诵+能力培养）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）
10 . 如图1,在等腰直角三角形中, 
, 
, 
分别是 
上的点, 
,
为 
的中点.将 
沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 
,其中 
.
(Ⅰ) 证明:
平面 
；
(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值.
中, , , 分别是 上的点, ,为 的中点.将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中 .(Ⅰ) 证明:
平面 ；(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值.
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2016-12-02更新
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2552次组卷
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6卷引用：第一章 空间向量与立体几何单元总结（思维导图+知识记诵+能力培养）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）
第一章 空间向量与立体几何单元总结（思维导图+知识记诵+能力培养）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷）【校级联考】山西省陵川第一中学、高平一中、阳城一中2018-2019学年高二上学期第三次月考数学（理）试题广东省汕头市澄海中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题24 盘点立体几何中折叠问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项
