1 . 已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,离心率为,点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)为椭圆上三个动点,在第二象限,关于原点对称,且,判断是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点的坐标,若不存在,说明理由．

2 . 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
（1）求的标准方程；
（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.

3 . 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是4，椭圆长轴长是2，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点.

（1）求椭圆，的方程；
（2）过的直线交椭圆于点，，求面积的最大值.

4 . 已知椭圆的左右焦点分别为、，上顶点为，若直线的斜率为，且与椭圆的另一个交点为，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（直线的斜率不为）与椭圆交于、两点，点在点的上方，若，求直线的斜率．

5 . 已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.
（1）求该椭圆的方程.
（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆经过点，的四个顶点围成的四边形的面积为.
（1）求的方程；
（2）过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与直线相交于点，是否存在直线使得为等腰直角三角形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

7 . 已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，设，过作直线交椭圆于、两点，记椭圆的左顶点为，直线，的斜率分别为，，且，求实数的值.

8 . 已知点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为，且△PF₁F₂的最大面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）点M的坐标为，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

9 . 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线与椭圆交于两点，试在轴上求一点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形.

10 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.