1 . 已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且、、成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求（为坐标原点）面积的取值范围．

2 . 已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

3 . 已知椭圆：的短轴长为2，直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点且斜率为的直线，与椭圆交于、两点时，作线段的垂直平分线分别交轴、轴于、，垂足为，使得与的面积相等，若存在，试求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

4 . 已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.

5 . 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，焦点到相应准线的距离为，动直线l与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求面积的取值范围.

7 . 已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.

8 . 已知椭圆：的长轴长为4，且点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过的左焦点且与交于，两点，若，求的方程.

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦点为的抛物线的准线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点、到直线的距离之积为，求证：直线与椭圆相切．

10 . 已知直线过点和椭圆：的焦点且方向向量为，且椭圆的中心关于直线的对称点在直线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点的直线交椭圆于点、，且满足（为原点）？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.