1 . 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，点在椭圆上，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)动直线交椭圆于，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段上一点，圆的半径为，且，求的范围.

2 . 已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点作的外角平分线的垂线，交于点，且（为坐标原点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

3 . 已知椭圆的离心率为,且椭圆过点,过点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆交于四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若,探究：直线是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.

4 . 椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足.
①证明：为定值；
②设直线与椭圆有两个不同的交点，与轴交于点.若成等差数列，求的值.

5 . 已知椭圆：的一个焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程与离心率；
（2）设椭圆上不与点重合的两点，关于原点对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．

6 . 已知椭圆的上顶点为,离心率为. 抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长.
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于两点
①证明：以为直径的圆经过点；
②记和的面积分别是,求的最小值.

7 . 已知椭圆，离心率，点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上一点，左顶点为A，上顶点为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．

8 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为．

(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程．

9 . 如图，在直角坐标系中，椭圆的上焦点为，椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程.
（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程.

10 . 已知，为椭圆：的左、右顶点，，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值.