1 . 已知点F是抛物线和椭圆的公共焦点，是与的交点，.

（1）求椭圆的方程；
（2）直线与抛物线相切于点，与椭圆交于，，点关于轴的对称点为.求的最大值及相应的.

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，其离心率.过作两条相互垂直的直线与，且交抛物线于，两点，交椭圆于另一点.
（1）求的值；
（2）求面积的最小值.

3 . 已知椭圆C的两个焦点为，，过的直线与椭圆C交于A、B两点，若，，则C的方程为________.

4 . 已知离心率为的椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上异于、的动点，且的面积最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）射线与椭圆交于点，过点作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点和点，求的面积的最大值.

5 . 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，直线与椭圆的另一个交点分别为.

（1）若点坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）设，，求证：为定值.

6 . 已知椭圆的离心率，且点为椭圆上一点．点，为椭圆的上、下顶点，动点在第一象限内且坐标为，过点作直线，分别交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

7 . 已知椭圆C的中心在原点O上，焦点在x轴上，离心率为，且过点.

（1）求椭圆C的方程；
（2）过该椭圆的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设，，连接MA，MB，并以MA，MB为邻边作平行四边形MANB，若，求此时的值.

8 . 圆过椭圆的下顶点及左、右焦点，，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中垂线交轴于点且垂足为点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：当直线斜率变化时为定值．

9 . 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的弦长为3，直线与圆相切，且与椭圆交于，两点，为椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）用，分别表示和的面积，求的最大值．

10 . 已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交椭圆于，两点，连接，求与之间的函数关系式．