1 . 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且经过两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线交椭圆于两点，过点作垂直于轴的直线，与线段交于点，与交于点，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知．求的值．
条件①：直线的斜率为；
条件②：直线过点关于轴的对称点；
条件③：直线过坐标原点．

2 . 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

3 . 已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论：
（1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，；
（2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；
（3）面积的最大值为；
（4）线段长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．

4 . 已知椭圆M与椭圆有相同的焦点，且椭圆M过点.点P在椭圆M上，
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的焦点为，若的面积为1，求点P的坐标.
(3)若，是椭圆M的左右顶点，点P与，不重合，证明：为定值.

5 . 已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点（不与定点重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线经过定点；
（3）求的面积的最大值