1 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，证明：.

2 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作与相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线恒过定点．

3 . 椭圆的两焦点为，，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是坐标原点，是椭圆上两点，是平行四边形，求以为直径的圆的方程.

4 . 已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围．

5 . 已知椭圆：经过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线，均过点A，且互相垂直，直线与圆O：交于M，N两点，直线与椭圆C交于另一点B，求面积的最大值.

6 . 已知椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上（异于，），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求的最大值．

7 . 椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，求面积的最大值以及此时直线l的方程.

9 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点在椭圆C上，不过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，AQ的斜率之和为1，试问直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．