1 . 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.
   
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值.

2 . 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的准线上一点作抛物线的两条切线，切点为，.

（1）求证：直线过焦点；
（2）若，，求的值.

3 . 已知椭圆左右焦点分别为，，
若椭圆上的点到，的距离之和为，求椭圆的方程和焦点的坐标；
在（1）条件下，若、是关于对称的两点，是上任意一点，直线，的斜率都存在，记为，，求证：与之积为定值．

4 . 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，设M，N是椭圆C上位于x轴上方的两动点，且直线与直线平行，与交于点D．
（Ⅰ）求和的坐标；
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）求证：是定值．

5 . 已知点M（x₀，y₀）为椭圆C：+y²＝1上任意一点，直线l：x₀x+2y₀y＝2与圆（x﹣1）²+y²＝6交于A，B两点，记线段AB中点为N，点F为椭圆C的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
（Ⅱ）证明：|FN|＝|AN|.

6 . 已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，求证：为定值.

7 . 如图，过椭圆：的左右焦点分别作直线，交椭圆于与，且.

（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值；
（2）求四边形面积的最大值.

8 . 已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，过点F₁的直线交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设
（1）求，求直线的斜率k的取值范围；
（2）求证：直线MQ过定点．

9 . 已知椭圆的左右焦点为，抛物线C：以F₂为焦点且与椭圆相交于点M，直线F₁M与抛物线C相切
（1）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（2）过F₂作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点；

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂.过F₁的直线交椭圆于B、D两点，过F₂的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.